O Brasil já teve alguma república com sede em Paris?

Sim, foi a República do Cunani, na fronteira com a Guiana, que tinha sua bandeira (foto) e chegou a emitir selos e cunhar moedas.
A República do Cunani foi proclamada por duas vezes uma república independente em território do atual Amapá, como resultado da disputa de terras que havia entre o Brasil e a França, conhecida como a Questão do Amapá.
Ocorre que a França não reconhecia que o Rio Oiapoque era o limite entre a Guiana Francesa e o Amapá. Segundo a França, o limite seria o Rio Araguari, o que retirava 260 mil quilômetros quadrados do Brasil. No final do século XIX, tropas francesas chegaram a invadir o Brasil até o limite do Rio Araguari. A questão só se resolveu em 1º de dezembro de 1900, quando o presidente da Suíça, Walter Hauser, que atuou como árbitro internacional da questão, deu ganho de causa ao Brasil.
Diante desse vácuo que se criou em relação à propriedade da região, o integrante da Sociedade de Geografia Comercial de Paris, Jules Gros, foi declarado como presidente vitalício da República do Cunani, escolhido por aventureiros e comerciantes locais da antiga Vila de Cunani (então com 300 moradores), em 1885. Embora a Vila fosse a capital oficial da república, a sede administrativa e os ministérios funcionavam em Paris. A República do Cunani chegou a emitir selos (imagem acima) e cunhar moedas, atualmente raridades nesse mercado e muito disputados por colecionadores. Também houve a criação de uma bandeira, do brasão da república, criando-se até mesmo a Ordem da Cavalaria Estrela de Cunani, para homenagear as pessoas que defendessem a causa. Só que a concessão era vendida e os recursos levantados beneficiavam o presidente vitalício. Diante da confusão e do escândalo que foi criado, o próprio Governo Francês decidiu extinguir a república (criado pelos comerciantes estabelecidos no Amapá) em 2 de setembro de 1887.
Em 1902 foi a vez do francês naturalizado brasileiro Adolph Brezet tentar restaurar a República do Cunani. Pra fazer isso ele enviou ofícios a pessoas representativas de toda a região comunicando a proclamação da nova república e chegou a informar o ministério que havia nomeado. Mais uma vez a sede estava em Paris, na Avenida Villiers, número 70. Só que, agora, não foi o Governo Francês que colocou um fim na aventura, mas o Governo Brasileiro, que já tinha a região reconhecida a seu favor. Pra acabar com a nova República do Cunani, o Governo Brasileiro enviou uma força policial para a região, fez várias prisões e nunca mais se ouviu falar de Brezet (que na ocasião estava em sua sede, em Paris).
O Barão do Rio Branco, que atuava em nome do Governo Brasileiro nas disputas de território com a França, comentou o seguinte a respeito da nova proclamação republicana no Amapá, com sede em Paris: "É uma república de comédia, como a primeira intitulada de Cunani, a qual só funcionou em Vanves, nos arredores de Paris, com a única diferença de que a atual empresa é mais prática, pois tem por fim extorquir dinheiro pela venda de condecorações da "Ordem da Estrela de Cunani" e por meio de um empréstimo que procura levantar, explorando a gente crédula ou ignorante. Consta que, ultimamente, a polícia francesa tomou providências para evitar que se aumentasse em França o número das vítimas desses ousados cavalheiros de indústria e de alguns homens de boa-fé que a eles se reuniram".